博得之门 3 骰子机制解析：用 Python 模拟 DnD 攻击命中与豁免概率

🎯 一句话定位：把 BG3 里”感觉运气不好”的直觉，变成有数据支撑的概率认知——用 Python 算清楚每一次骰子背后的真实胜率。

💡 核心理念：DnD 的 d20 骰子系统不是纯随机赌博，而是一个参数可控的概率模型。理解了 AC、DC、修正值、优势/劣势的数学本质，你的战术决策就从”赌脸”变成了”算牌”。

graph TD
    A["投掷 d20"] --> B["加上攻击修正值"]
    B --> C{"合计 >= 目标 AC?"}
    C -->|"是"| D["命中！投掷伤害骰"]
    C -->|"否"| E["未命中"]
    A -->|"自然 20"| F["暴击！伤害骰翻倍"]
    A -->|"自然 1"| G["自动未命中"]

    style A fill:#e3f2fd,stroke:#333,color:#000
    style D fill:#c8e6c9,stroke:#333,color:#000
    style F fill:#c8e6c9,stroke:#333,color:#000
    style E fill:#ffcdd2,stroke:#333,color:#000
    style G fill:#ffcdd2,stroke:#333,color:#000

DnD 骰子系统基础

d20 核心机制

博得之门 3 完整复刻了 DnD 5e 的核心判定机制：每次攻击、豁免或技能检定都通过投掷一枚 20 面骰（d20）来决定。

基本判定公式：

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d20 投掷值 + 修正值 >= 目标阈值 → 成功

其中：

• 攻击检定：修正值 = 能力修正 + 熟练加值；目标阈值 = 敌方 AC（护甲等级）
• 技能/能力检定：修正值 = 对应能力修正（+ 熟练加值）；目标阈值 = GM 设定的 DC
• 豁免检定：修正值 = 对应属性的豁免修正；目标阈值 = 法术 DC

BG3 三种核心检定

优势与劣势

优势（Advantage）和劣势（Disadvantage）是改变概率分布的最强机制：

• 优势：同时投两枚 d20，取较高值
• 劣势：同时投两枚 d20，取较低值
• 两者相消：同时拥有优势和劣势时效果互相抵消，退回单骰投掷

自然 1 与自然 20

BG3 的实现规则（与桌游 RAW 略有不同）：

• 自然 20：攻击检定自动命中并触发暴击；豁免检定自动成功
• 自然 1：攻击检定自动未命中；豁免检定自动失败（桌游 RAW 不一定如此）
• 暴击阈值可以更低：部分 BG3 装备（如地脉迷城匕首）可将暴击触发值降至 19，即 d20 投出 19 或 20 均触发暴击，暴击率从 5% 提升至 10%

概率数学基础

单次 d20 的均匀分布

d20 是标准均匀分布，每个值（1-20）出现概率均为 5%。投出 >= k 的概率：

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P(d20 >= k) = (21 - k) / 20

例如，需要投出 >= 11 才能命中（攻击修正 +5，对面 AC 16）：

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需要值 k = 16 - 5 = 11
P(>=11) = (21 - 11) / 20 = 10 / 20 = 50%

优势/劣势的概率公式

设”需要投出 >= k 才成功”，三种情况的公式如下：

• 正常：P = (21 - k) / 20
• 优势：P = 1 - ((k - 1) / 20)²（两次都失败的概率取补集）
• 劣势：P = ((21 - k) / 20)²（两次都成功才算成功）

优势相较正常的提升量在 k = 11 时最大（+25%），在 k 接近 2 或 20 时趋近于 0。

正常、优势、劣势概率对比

graph LR
    A["需要投 d20"] --> B{"是否有优/劣势?"}
    B -->|"优势"| C["投 2d20 取高值"]
    B -->|"正常"| D["投 1d20"]
    B -->|"劣势"| E["投 2d20 取低值"]
    C --> F["命中概率提升最多 +25%"]
    E --> G["命中概率降低最多 -25%"]

    style C fill:#c8e6c9,stroke:#333,color:#000
    style D fill:#e3f2fd,stroke:#333,color:#000
    style E fill:#ffcdd2,stroke:#333,color:#000
    style F fill:#c8e6c9,stroke:#333,color:#000
    style G fill:#ffcdd2,stroke:#333,color:#000

Python 模拟实战

以下代码使用 numpy 和 pandas 进行蒙特卡洛模拟，安装依赖后可直接运行：

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pip install numpy pandas

基础攻击命中模拟

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import numpy as np
import pandas as pd

def simulate_attacks(
    n: int, attack_modifier: int, target_ac: int, crit_threshold: int = 20
) -> pd.DataFrame:
    """蒙特卡洛模拟 n 次攻击，返回逐次结果 DataFrame

    crit_threshold: 暴击触发阈值，默认 20；地脉迷城匕首等装备可降至 19
    """
    rolls = np.random.randint(1, 21, size=n)
    df = pd.DataFrame({
        'd20': rolls,
        'total': rolls + attack_modifier,
        'ac': target_ac,
    })
    # 达到暴击阈值自动命中，自然 1 自动未命中
    df['crit'] = df['d20'] >= crit_threshold
    df['hit'] = (df['total'] >= target_ac) | df['crit']
    df.loc[df['d20'] == 1, 'hit'] = False
    return df

# 示例：+5 攻击修正 vs AC 16，模拟 10 万次
results = simulate_attacks(100_000, attack_modifier=5, target_ac=16)
print(f"命中率: {results['hit'].mean():.1%}")   # 理论值: 50%
print(f"暴击率: {results['crit'].mean():.1%}")  # 理论值: 5%

# 装备地脉迷城匕首（暴击阈值降至 19）
results_19 = simulate_attacks(100_000, attack_modifier=5, target_ac=16, crit_threshold=19)
print(f"暴击率（阈值 19）: {results_19['crit'].mean():.1%}")  # 理论值: 10%

优势/劣势对比模拟

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def compare_advantage(n: int, modifier: int, ac: int) -> dict:
    """对比正常/优势/劣势三种情况下的命中率"""
    r1 = np.random.randint(1, 21, size=n)
    r2 = np.random.randint(1, 21, size=n)

    normal = r1
    advantage = np.maximum(r1, r2)      # 取高值
    disadvantage = np.minimum(r1, r2)   # 取低值

    def hit_rate(rolls: np.ndarray) -> float:
        hits = ((rolls + modifier) >= ac) | (rolls == 20)
        hits = hits.copy()
        hits[rolls == 1] = False
        return float(hits.mean())

    return {
        '正常': f"{hit_rate(normal):.1%}",
        '优势': f"{hit_rate(advantage):.1%}",
        '劣势': f"{hit_rate(disadvantage):.1%}",
    }

# 示例：+5 修正 vs AC 16
print(compare_advantage(100_000, modifier=5, ac=16))
# 输出示例：{'正常': '50.0%', '优势': '75.0%', '劣势': '25.0%'}

生成命中概率速查表

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def build_hit_table() -> pd.DataFrame:
    """生成攻击修正 × 目标 AC 的命中概率矩阵（精确计算，无需模拟）"""
    rows = []
    for mod in range(0, 11):
        for ac in range(10, 21):
            k = ac - mod  # 需要投出的最低 d20 值
            if k <= 1:
                prob = 0.95   # 只有自然 1 才 miss
            elif k >= 21:
                prob = 0.05   # 只有自然 20 才 hit
            else:
                prob = (21 - k) / 20
            rows.append({'修正': f"+{mod}", 'AC': ac, '命中率': prob})

    df = pd.DataFrame(rows)
    pivot = df.pivot(index='修正', columns='AC', values='命中率')
    return pivot.map(lambda x: f"{x:.0%}")

print(build_hit_table().to_string())

豁免检定失败率模拟

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def saving_throw_fail_rate(spell_dc: int, save_modifier: int, n: int = 100_000) -> float:
    """模拟目标豁免失败（即控制法术生效）的概率，使用 BG3 规则"""
    rolls = np.random.randint(1, 21, size=n)
    totals = rolls + save_modifier
    # BG3 规则：自然 20 总是豁免成功，自然 1 总是豁免失败
    failed = (totals < spell_dc).copy()
    failed[rolls == 20] = False  # nat20 强制成功
    failed[rolls == 1] = True    # nat1 强制失败
    return float(failed.mean())

# 多目标对比：Hold Person (DC 15) 对不同敌人的效果
targets = [
    ("精英地精（WIS +0）", 0),
    ("普通人类士兵（WIS +1）", 1),
    ("法师（WIS +3）", 3),
    ("圣骑士（WIS +5）", 5),
]
for name, mod in targets:
    r = saving_throw_fail_rate(spell_dc=15, save_modifier=mod)
    print(f"{name}: 控制生效 {r:.1%}")
# 理论输出：70% / 65% / 55% / 45%

BG3 实战场景分析

场景一：1 级战士 vs 地精群

• 角色：战士，攻击修正 +5（力量修正 +3，熟练加值 +2）
• 目标：地精，AC 15

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理论命中率 = (21 - (15 - 5)) / 20 = 11 / 20 = 55%
开启优势后 = 1 - (9/20)² = 1 - 0.2025 ≈ 79.75%

对低 AC 敌人，优势将命中率从 55% 提升到 80%，相当于额外增加了 45% 的相对输出期望。

场景二：5 级法师放 Hold Person

• 法术 DC：15（8 + 熟练 +3 + 智力修正 +4）
• 目标：人类士兵，WIS 豁免修正 +1

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控制生效概率 ≈ (15 - 1 - 1) / 20 = 13/20 = 65%（加 nat1 惩罚后约 70%）

选择 WIS 较低的目标时，控制法术的期望收益远高于同等环位的直接伤害。

场景三：Boss 战中的优势价值

当敌方 AC 为 20（Boss 级），己方攻击修正仅 +5 时：

面对高 AC Boss，优势的绝对提升量（+21pp）与低 AC 场景相似，但相对收益接近翻倍期望输出，远超低 AC 时的相对价值。

战术决策指南

优势的选择时机

graph TD
    A["考虑如何提升输出"] --> B{"当前命中率?"}
    B -->|"< 40%（高 AC 敌人）"| C["优先获取优势"]
    B -->|"40%-70%（中等 AC）"| D{"能否获取优势?"}
    B -->|"> 70%（低 AC 敌人）"| E["叠加伤害修正更划算"]
    D -->|"是"| F["优势带来 15-25% 提升"]
    D -->|"否"| G["尝试降低敌方 AC 或提升修正"]
    C --> H["俯冲攻击、法术、祝福等手段"]

    style C fill:#c8e6c9,stroke:#333,color:#000
    style E fill:#e3f2fd,stroke:#333,color:#000
    style H fill:#c8e6c9,stroke:#333,color:#000

关键战术原则

优势 vs 伤害加成的选择：

• 命中率 < 50% 时，优势收益通常大于叠加伤害修正
• 命中率 > 70% 时，祝福（Bless）/ 狂怒等伤害加成更高效
• 优势对暴击率有隐性加成：5% 提升至约 9.75%，对触发额外效果的职业影响显著

控制法术的目标优先级：

用 saving_throw_fail_rate() 在战前估算控制成功率，选择豁免修正最低的敌人。控制生效概率 >= 60% 且目标威胁度高时，控制的期望价值通常优于直接输出。

优势不叠加：

即使有三个来源提供优势，效果等同于一个。在已有优势的情况下，应将行动资源投入其他增益，如浓度 buff、场地控制或额外攻击。

FAQ

Q：我总是 Miss，游戏是不是在作弊？

A：这是确认偏误。当命中率为 50% 时，连续 Miss 3 次的概率是 12.5%，每 8 场战斗必然出现一次。蒙特卡洛模拟的价值就在于：跑 10 万次之后，它不会说谎。

Q：优势到底等效多少点修正？

A：平均等效 +3.325 点，但非线性。需要投 10-12 时，优势约带来 25% 提升；需要投 2 或 19 时，提升接近 0。最值钱的区间是需要投 8-14（对应命中率 35%-65%）。

Q：AC 堆到多少才有意义？

A：AC 每提升 1 点，对方命中率绝对降低 5%，没有上限。从 AC 14 升到 AC 16，对面命中率从 55% 降到 45%，相对减伤约 18%。从 AC 18 升到 AC 20，相对减伤反而接近 33%——高 AC 段的边际防御价值更高，不是递减而是递增。

Q：控制法术 vs 直接伤害怎么选？

A：核心变量是控制生效概率和目标威胁度。控制生效 >= 65% 时，等效于该目标至少”退出战斗”一回合，通常比单回合直接伤害价值更高。若目标豁免修正极高（如圣骑士 WIS +5 对 DC 15），成功率只有约 45%，此时直接伤害往往更稳。

Q：BG3 的骰子规则和桌游 DnD 5e 完全一样吗？

A：不完全一样。标准 RAW 5e 中，普通豁免检定并不强制”自然 1 = 自动失败”，但 BG3 选择了这个强化规则，使控制法术的稳定性略低于桌游。本文所有模拟均遵循 BG3 实际规则。

总结

核心要点

1. d20 均匀分布，命中率 = (21 - 需求值) / 20，所有概率均可精确计算
2. 优势在命中率 35%-65% 区间价值最大，约等效 +3 至 +5 点修正
3. 蒙特卡洛模拟的结果与理论公式高度吻合，可用来验证或推翻直觉判断

这套框架的迁移性

相同的分析方法也适用于：

• XCOM 系列：百分制命中率，换个参数即可复用
• 桌游 DnD / Pathfinder：调整 nat1/nat20 规则后直接套用
• 其他骰子 TRPG：修改骰型（d6、d8、d12）和修正规则即可

后续方向

• 加入伤害期望计算：命中率 × 平均伤害骰 × 暴击倍率（已有完整实现，见 BaldursGate3-DamageCalc）
• 模拟多回合连续攻击的累积概率分布
• 对比不同职业/专长在各 AC 段的 DPS 期望曲线

📦 延伸工具：本文聚焦命中概率与豁免分析。如果你还想计算期望伤害（含祝福骰、暴击翻倍、神射手 -5/+10 等复杂表达式），可以直接使用 BaldursGate3-DamageCalc，输入攻击/伤害表达式即可运行。

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